10月4日，2022年诺贝尔物理学奖揭晓，3位科学家Alain Aspect，John F. Claucer和Anton Zeilinger获此殊荣。北京大学数学科学学院博士生胡文杰、北京大学数学科学学院、统计科学中心助理教授苗旺简要回顾本届诺贝尔物理学奖的科学背景，以及其中的统计和因果推断问题。

诺贝尔物理学奖2022年授予科学家Alain Aspect，John F. Claucer和Anton Zeilinger，以表彰他们在“纠缠光子实验，验证贝尔不等式不成立和开创量子信息科学”方面所做的贡献。其中最为关键的贝尔不等式是1964年英国物理学家贝尔提出的。该不等式的前提假定是局域实在理论（也被称为局域隐变量理论），从而可以通过检验该不等式是否成立来验证局域实在理论。

　　爱因斯坦和贝尔

我们简要回顾一下贝尔不等式的历史。自量子力学诞生以来，爱因斯坦就以“上帝从不掷骰子”的评论表达了对该理论的怀疑态度，并提出各种假想实验来质疑量子力学理论。但是随着辩论的持续深入，量子力学理论的自洽性逐渐得到承认。由于其理论与当时物理学界很多直观不符，以爱因斯坦为代表的很多科学家仍然不能接受该理论。在1935年，爱因斯坦与其合作者提出了著名的EPR佯谬[1]，对于量子力学理论的完备性提出了质疑。量子力学理论表明处于纠缠态的一对自旋为1/2的粒子（比如电子）具有这样的性质：当沿着同一方向测量这对粒子的自旋时，其中一个粒子测量出的自旋可以精确预测另一个粒子的自旋，如果第一个粒子的自旋向上，则第二个粒子的自旋必定向下。一种解释认为对第一个粒子自旋的测量会影响第二个粒子的状态，即使这两个粒子之间的距离足够远。这就意味着某种“超距作用”的存在。然而爱因斯坦相信“局域实在论”并认为更合理的解释是两个粒子都有着共同来源的隐藏变量，使得它们在观测时表现出相关性。而玻尔则不同意爱因斯坦的观点以及他的“局域实在论”的假定。在当时爱因斯坦和玻尔都没有意识到“局域实在论”的假定是可以进行实验验证的。贝尔作为爱因斯坦的支持者为解决EPR佯谬，在1964年提出了验证“局域实在论”的方法，即可供实验验证的贝尔不等式。

　　Richard Gill；James Robins；Tyler VanderWeele

贝尔不等式、量子力学、局域实在论和统计学有什么关系？荷兰Leiden大学Gill教授、哈佛大学Robins和VanderWeele教授从统计学因果推断的角度给出了贝尔不等式的解释，并从因果推断的角度讨论了导致贝尔不等式不成立的原因[3][7]。下面我们首先用因果推断的语言来给出局域实在论成立时贝尔不等式的证明。假设我们有两个粒子且可以用设备来测量每个粒子的自旋。令表示对第一个粒子从a或者a'方向测量其自旋，表示对第二个粒子从b或者b'方向测量其自旋，其中a,a',b,b'代表的方向可以相同。令和分别表示当第一个粒子在方向测量，第二个粒子在方向测量时，第一个粒子和第二个粒子对应的自旋状态，取值为±1（1表示自旋向上，-1表示自旋向下）。在因果推断的潜在结果模型中，就表示在联合干预下，粒子i的潜在结果。实际上这个记号已经蕴含了实在性假设，即我们假定了潜在结果的存在性。局域性假设则要求：对一个粒子自旋的测量值不会受到另一个粒子自旋测量方向的影响，在潜在结果的记号下即。实在性和局域性假定通常也被合并称为“局域实在性”假定。此外还需要自由意志假设，即实验者可以随机选取测量方向，该假设一般都认为成立，这里就不再对其进行详细讨论。

在实在性、局域性和自由意志假定下，我们有

　　

由于粒子自旋的取值为±1，所以必有一个取值为0另一个取值为±2。从而我们有

 

　　

进而我们得到

 

　　此即为贝尔不等式。即，在“局域实在性”假定和自由意志假定下，贝尔不等式成立。然而，根据量子力学理论，我们有其中θ为方向t1和t2的夹角。通过适当选取，例如选取该四个方向在同一平面内，且角度分别为（如下图），此时贝尔不等式的左边可以达到 因此，量子力学理论认为贝尔不等式将被违反！三位诺贝尔物理学奖获得者正是通过沿特定方向测量这对粒子的自旋方向来验证贝尔不等式是否被违反。

　　测量选取的方向

从因果交互作用的角度来看，在“局域实在性”假定下，贝尔不等式实际上表示了两个干预没有交互作用时对观察数据分布的约束。交互作用是因果推断研究的一个重要问题，例如，Greenland和Robins在1992年考虑了因果交互作用在流行病学中的应用，详细讨论了吸烟与高血脂的交互作用[6]。近年来，VanderWeele和Robins在因果交互作用领域作了一些更为精细的工作，例如因果交互作用存在的充分条件[8]，多重干预的交互作用[10]等。他们将得到的理论结果应用于基因交互中的异位显性作用等问题中[9]。这些统计上的结果在多粒子贝尔不等式中可能也有理论价值。

　　

基因交互作用

除了在局域实在论概念上的联系，试验设计、假设检验等统计方法更是在贝尔实验验证过程中发挥的重要作用。Gill将贝尔实验的重复测量看成是某种“随机临床试验”，以平衡可能的非同质性，时间等混杂因素[4]。Gill教授在该领域发明的统计方法包括其鞅理论等，得到了贝尔实验者的使用。同时Gill教授最近从统计角度给出了对贝尔实验数据更优的统计分析方法[5]。此外，统计学家对于早期贝尔实验中数据的缺失数据问题也做了一定的统计分析，该漏洞已在后来的贝尔实验中解决。

量子力学表明微观世界的物理规律可能与宏观世界有着本质的不同。部分量子力学研究者认为：贝尔不等式的违背意味着在量子物理领域，量子随机性是本质，不可约的，而不是像经典物理学所认为的数据的随机性是由于复杂系统中很多未观察因素存在而出现的。因此量子机制实际上可以看成是关于微观世界的概率理论。量子计算、量子信息等领域的发展急需新的统计理论和方法。这正是我们统计学、因果推断研究者所擅长的方向。微观世界的本质随机性为统计研究者提供了巨大的动力，激励我们利用统计学和因果推断研究量子力学中的相关问题，为科学和社会的发展进步做出更大的贡献。

作者介绍：

胡文杰，北京大学数学科学学院博士生。研究兴趣包括因果推断，数据融合和半参数统计。

苗旺，北京大学数学科学学院、统计科学中心助理教授。研究兴趣包括因果推断，人工智能，缺失数据分析和半参数统计，以及在生物医药，流行病学和社会经济中的应用。

参考文献：

[1] Einstein, A., Podolsky, B. and Rosen, N., 1935. Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? Physical Review, 47(10), pp.777-780.

[2] Bell, J.S., 1964. On the Einstein–Podolsky–Rosen paradox. Physics Physique Fizika, 1(3), pp.195-200.

[3] Gill, R.D., 2014. Statistics, causality and Bell’s theorem. Statistical Science, 29(4), pp.512-528.

[4] Gill, R.D., 2003. Time, finite statistics, and Bell's fifth position. arXiv preprint quant-ph/0301059.

[5] Gill, R.D., 2022. Optimal statistical analyses of Bell experiments. arXiv preprint arXiv:2209.00702.

[6] Robins, J.M. and Greenland, S., 1992. Identifiability and exchangeability for direct and indirect effects. Epidemiology, 3(2), pp.143-155.

[7] Robins, J.M., VanderWeele, T.J. and Gill, R.D., 2015. A proof of Bell's inequality in quantum mechanics using causal interactions. Scandinavian Journal of Statistics, 42(2), pp.329-335.

[8] VanderWeele, T.J. and Robins, J.M., 2008. Empirical and counterfactual conditions for sufficient cause interactions. Biometrika, 95(1), pp.49-61.

[9] VanderWeele, T.J., 2010. Epistatic interactions. Statistical Applications in Genetics and Molecular Biology, 9(1).

[10] VanderWeele, T.J., 2010. Sufficient cause interactions for categorical and ordinal exposures with three levels. Biometrika, 97(3), pp.647-659.

[11] VanderWeele, T.J., Vandenbroucke, J.P., Tchetgen, E.J.T. and Robins, J.M., 2012. A mapping between interactions and interference: implications for vaccine trials. Epidemiology, 23(2), pp.285-292.